OpenAI-KI liefert Lösungsvorschlag für Navier-Stokes-Millenniumproblem

Ein internes OpenAI-System soll einen Lösungsvorschlag für eines der bekanntesten offenen Probleme der Mathematik gefunden haben: die Existenz und Glattheit der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen. Der Beweis konstruiert einen Wirbel, dessen Geschwindigkeit in endlicher Zeit unbeschränkt wächst, während die Energie endlich bleibt. Tausende koordinierte KI-Agenten arbeiteten daran; anschließend wurde der Ansatz in Lean formalisiert. OpenAI selbst formuliert die Veröffentlichung inzwischen vorsichtig als vorgeschlagene Lösung.

OpenAI legt einen außergewöhnlichen mathematischen Forschungserfolg vor: Ein internes KI-System soll einen Lösungsvorschlag für das Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblem gefunden haben, eines der sieben Millennium Prize Problems. Nach Darstellung des Unternehmens zeigt der analytische Beweis, dass die dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen unter den betrachteten Bedingungen in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln können. Zusätzlich wurde der Beweis in Lean formalisiert, sodass wesentliche logische Schritte maschinell überprüfbar sind.

Die Navier-Stokes-Gleichungen gehören zu den grundlegenden Werkzeugen der Strömungsmechanik. Sie beschreiben Flüssigkeiten und Gase als kontinuierliche Medien und kommen unter anderem bei der Berechnung von Luftströmungen, in der Wettermodellierung oder bei der Untersuchung von Blutströmungen zum Einsatz. Die Gleichungen selbst sind seit dem 19. Jahrhundert bekannt. Die große offene Frage lautet jedoch, ob glatte Lösungen in drei Dimensionen immer glatt bleiben oder ob sich unter bestimmten Bedingungen in endlicher Zeit eine Singularität bilden kann.

Was eine Singularität hier bedeutet

Mit einer Singularität ist hier kein ungewöhnlicher Wirbel im alltäglichen Sinn gemeint, sondern ein mathematischer Zusammenbruch der Lösung: Bestimmte Geschwindigkeiten würden innerhalb endlicher Zeit ohne Grenze anwachsen. Das ist besonders bemerkenswert, weil die Viskosität in den Navier-Stokes-Gleichungen normalerweise eine glättende Wirkung besitzt. Sollte eine solche Singularität tatsächlich möglich sein, würde dies zeigen, dass die Gleichungen trotz glatter Anfangsdaten ein Verhalten entwickeln können, bei dem die Kontinuumsbeschreibung an ihre mathematischen Grenzen stößt.

Genau diesen Fall will OpenAIs System konstruiert haben. Laut dem veröffentlichten Dokument startet die betrachtete Flüssigkeit aus einem glatten Ruhezustand und wird durch eine ebenfalls glatte äußere Kraft angetrieben. Die Gesamtenergie bleibt dabei endlich. Trotzdem bildet sich ein Wirbel, der sich immer weiter nach innen zusammenzieht und gleichzeitig stark in eine Richtung gestreckt wird. Während die zentrale Struktur kleiner wird, nimmt ihre Geschwindigkeit immer weiter zu, bis sie in endlicher Zeit unbeschränkt wird.

Der entscheidende Punkt des Ansatzes liegt nach OpenAIs Darstellung in einem sehr präzisen Gleichgewicht verschiedener Terme der Navier-Stokes-Gleichungen. Beschleunigung, Druckgradienten, Impulstransport und Viskosität werden lokal sehr groß, sollen sich aber so gegeneinander aufheben, dass die von außen angelegte Kraft weiterhin glatt bleibt. Die Singularität wird damit nicht einfach durch eine künstlich unendliche Kraft erzeugt, sondern soll aus der Dynamik der Strömung selbst entstehen. OpenAI ordnet den Beweis den Aussagen „C" und „D" der offiziellen Formulierung des Millennium-Problems zu.

Wie der Beweis gefunden wurde

Mindestens ebenso ungewöhnlich wie das Resultat ist der Weg, auf dem es entstanden sein soll. OpenAI beschreibt ein internes Modell, das während des Projekts noch trainiert wurde und nach Unternehmensangaben deutlich leistungsfähiger als GPT-6 Astra sein soll. Anfang September setzte das Unternehmen ein groß angelegtes Multi-Agenten-System auf mehrere offene mathematische Probleme an. Für Navier-Stokes arbeiteten demnach zeitweise rund 10.000 KI-Agenten parallel. Verschiedene Gruppen erhielten unterschiedliche Varianten der Aufgabenstellung und konnten innerhalb ihrer Gruppen Ergebnisse austauschen.

Zunächst beschäftigten sich Teile des Systems auch mit einer verwandten Frage zu den Euler-Gleichungen, also einer Variante ohne Viskosität. Nach Angaben von OpenAI gelang einer Gruppe von knapp 100 Agenten nach rund 50 Stunden ein Resultat für die ungetriebene Euler-Variante. Dieses Zwischenergebnis erhöhte offenbar die Einschätzung, dass auch beim Navier-Stokes-Problem ein Durchbruch möglich sein könnte. Daraufhin wurden weitere Rechen- und Agentenressourcen auf Navier-Stokes konzentriert.

OpenAI setzte dabei auf mehrere voneinander getrennte Gruppen, die unterschiedliche Ansätze verfolgten. Später wurden vielversprechende Zwischenergebnisse mit Hilfe von Codex zusammengeführt und erneut an Agentengruppen verteilt. Nach etwa 88 Stunden soll am 5. September der entscheidende Lösungsansatz gefunden worden sein. Die anschließende Formalisierung und Verifikation in Lean dauerte laut Dokument weitere 17 Stunden und wurde mit GPT-6 Astra durchgeführt.

Der Rechenaufwand war beträchtlich. Für die Arbeit am Navier-Stokes-Problem nennt OpenAI rund 2,7 Millionen Agentennachrichten und etwa 130 Milliarden ausgegebene Tokens. Über alle parallel untersuchten Probleme hinweg seien 4,9 Millionen Nachrichten und ungefähr 300 Milliarden Output-Tokens angefallen. Die Zahlen verdeutlichen, dass es sich nicht um eine einzelne Modellantwort handelte, sondern um eine groß angelegte, koordinierte Suche mit sehr vielen parallelen Lösungsversuchen.

Concurrent Work und Priorität anderer Forscher

Das Dokument geht außerdem auf zeitgleich entstandene Forschung anderer Mathematiker ein. OpenAI berichtet, dass Gerüchte über mögliche Fortschritte bei Millennium-Problemen den Start des Projekts mit ausgelöst hätten. Später stellte sich heraus, dass Levent Alpöge und Tristan Buckmaster an einem Ergebnis für die erzwungene Euler-Gleichung gearbeitet hatten. OpenAI erkennt deren Priorität für dieses Euler-Resultat ausdrücklich an und erklärt, dass die eigenen Agenten keinen Zugriff auf diese Arbeit gehabt hätten, bevor sie öffentlich verfügbar war.

Vorsichtige Einordnung: vorgeschlagene Lösung

Für die Einordnung des Navier-Stokes-Ergebnisses ist dennoch Vorsicht angebracht. Das hochgeladene Dokument formuliert an mehreren Stellen sehr weitreichend und spricht davon, das Millennium-Problem zu „lösen". Auf OpenAIs aktueller Forschungsübersicht wird die Veröffentlichung dagegen zurückhaltender als ein von einem OpenAI-Modell „vorgeschlagener" Lösungsansatz bezeichnet. Diese vorsichtigere Formulierung ist angemessen: Selbst eine vollständige Lean-Formalisierung macht ein mathematisches Resultat wesentlich besser überprüfbar, ersetzt aber nicht die unabhängige Prüfung, ob alle Voraussetzungen, Definitionen und Bezüge zur offiziellen Problemstellung exakt getroffen wurden.

OpenAI selbst erklärt zudem, den Millennium-Preis für das Resultat nicht beanspruchen zu wollen. Das Unternehmen stellt die Veröffentlichung vor allem als Hinweis auf den raschen Fortschritt seiner internen KI-Systeme dar. Aus Sicht der KI-Forschung ist genau das möglicherweise die zweite große Nachricht: Falls sich der mathematische Ansatz bestätigt, wäre nicht nur ein jahrzehntealtes Problem einen entscheidenden Schritt weitergebracht worden. Es wäre zugleich ein eindrucksvolles Beispiel dafür, dass sehr große, koordinierte Agentensysteme eigenständig neue mathematische Konstruktionen entwickeln, Zwischenergebnisse austauschen und formale Beweise erzeugen können.

Ob daraus tatsächlich ein endgültig anerkannter Durchbruch beim Navier-Stokes-Problem wird, hängt nun von der detaillierten Prüfung durch die mathematische Fachwelt ab. Unabhängig davon zeigt die Veröffentlichung, in welche Richtung sich KI-gestützte Wissenschaft entwickeln könnte: weg von einzelnen Antworten auf klar definierte Aufgaben und hin zu lang laufenden Forschungsprozessen, in denen Tausende spezialisierte Agenten Hypothesen testen, Ansätze verwerfen, Ergebnisse kombinieren und schließlich formal überprüfbare Resultate produzieren.